⬆️
Кратко
чем комплексные числа отличаются от обычных двумерных координат? И почему?
Комплексные числа появляются в Простом Мире при описании взаимоисключающих событий, происходящих не в противоположном, но в перпендикулярном, двумерном пространстве.
То есть при описании событий, не являющих логическим отрицанием друг друга (как перемещение и отсутствие перемещения), не отменяющих действие друг друга, как например перемещение влево и перемещение вправо, но тем не менее оказывающие взаимное влияние.
А именно. Представьте себе, что вы находитесь на шахматной доске и можете за один ход перемещаться только на одну клеточку вверх или на одну клеточку вниз, или на одну клеточку вправо или на одну клеточку влево.
Допустим у вас существуют 4 типа монеток. Обозначим эти монетки, как “x+”, “x-“, “y+”, “y-“. Эти монетки обозначают:
“x+” – перемещение в положительном направлении вдоль оси x – вправо
“x-” – перемещение в отрицательном направлении вдоль оси x – влево
“y+” – перемещение в положительном направлении вдоль оси y – вверх
“y-” – перемещение в отрицательном направлении вдоль оси y- вниз
Допустим у вас есть 10 монет и вы знаете, что ваши монетки – только “x+”, “y+”
Тогда варианты вашего движении – это:
10 вверх 0 вправо
9 вверх 1 вправо
8 вверх 2 вправо
7 вверх 3 вправо
6 вверх 4 вправо
5 вверх 5 вправо
4 вверх 6 вправо
3 вверх 7 вправо
2 вверх 8 вправо
1 вверх 9 вправо
0 вверх 10 вправо
Вы можете для каждого варианта высчитать результирующий угол движения и расстояние, как корень из суммы квадратов.
А можете просто помнить, что прошли x шагов шагов вправо i y вверх и описать свое движение как:
z = x + iy
Это удобно, если ваше движение по шахматной доске не закончено и вам необходимо продолжать считать свои шаги.
При этом вы можете отдельно хранить перемещение за разные промежутки времени, а потом складывать их. Например вам известно что вы прошли
x1 + iy1
шагов за один день,
x2 + iy2.
за второй день. Тогда всего за 2 дня вы прошли
(x1 + x2) + i(y1 + y2)
шагов. Смысл в том, что вы никуда не денетесь с шахматной доски и вам всегда прийдется складывать и вычитать отдельно перемещение по оси x и отдельно по оси y. Потому что мы не можем двигаться под другим углом кроме как под прямым.
А уже потом когда-то в конце можно посчитать конечную скорость, конечное пройденное расстояние – что угодно.
Именно такое одновременно независимое (так как движение по оси x не влияет на движение по оси y) и зависимое движение (так как невозможно за один ход перемещаться и вдоль оси х и вдоль оси y) – и описывают комплексные числа. Описывают перемещение по шахматной доске.
Ниже и в других статьях я попробую это показать.
Модель:
Имитационная модель: Комплексные числа и окружностьТакое пространство описывается Манхэттенской метрикой, введенной все тем же Минковским (как и пространство Минковского). Это пространство “кварталов Манхеттена”, где расстояние измеряется в количестве пройденных кварталов, расположенных перпендикулярно относительно друг друга. Мы можем перемещаться только по улицам и не можем перепрыгивать через здания.
Формула “окружности” в этом пространстве выглядит как |x|+|y|=R и имеет форму ромба. R – радиус “окружности”.
Получается манхеттенская метрика – это пространство комплексных чисел.
Вкратце пройдемся по операциям над комплексными числами.
Умножение на действительное число – пропорциональное увеличение количества событий по обоим направлениям
Умножение на i – поворот на 90 градусов всех направлений перемещений: x -> -y, y -> x
Умножение комплексного числа вида a+ib на другое комплексное число c + id – это переход от числа a + ib, которое описывает 2 взаимоисключающих события a – вдоль оси x, b – вдоль оси y к числу, состоящему из a*c событий вдоль оси x, a*d + b*c вдоль оси y и еще b*d событий вдоль оси x, но с обратным знаком (так как это повернутые на 90 градусов события вдоль оси y исходного числа).
То есть (a+ib)(c + id) = (a*c -b*d) +i (a*d + b*c)
Как это и происходит в комплексных числах.
Пример. Допустим наше движение состояло из 10 шагов вдоль оси x. Умножение на комплексное число 1 + i говорит про переход к такому движению: 10 шагов вдоль оси x и 10 вдоль оси y. То есть движение под 45 градусов.
Умножение на i^2 – это 2 поворота по 90 градусов – поворот на 180 градусов направлений движений в оси x и y – получается это то же самое, что по отдельности умножить перемещение по оси x и оси y на -1: x -> -x, y -> -y
Пример: умножение комплексного числа на комплексное число 1+i² означает переход от исходного движения к исходному движению + движению в строго противоположном направлении. А значит результат будет 0.
То, что наш мир хорошо описывается взаимоисключающими событиями, может свидетельствовать, что сам наш мир как раз и состоит из взаимоисключающих событий. Примерами таких взаимоисключающих событий в Простом Мире будут:
- потенциальная и кинетическая энергия
- движение на месте и движение в каком-то направлении
- масса покоя и масса движения
- электрическое и магнитное поле
И так далее.
Таким образом комплексные числа – скорее алгоритм, описывающий, как легко можно посчитать то, что другим путем посчитать гораздо сложнее.
Так же мы храним координаты, например. Но комплексные числа учитывают тот факт, что при наличии 10 ходов ты не можешь пройти 10 шагов влево и 10 вверх по шахматной доске. Просто не можешь и все. И даже не можешь пройти одинаковое расстояние в любом направлении.
Возможные варианты твоих скоростей и направлений за n моментов времени расположены на ребрах ромба c вершинами (n,0), (0,n), (-n, 0), (0, -n).