⬆️
Напомню, что экспонента – это функция e^x, для которой производная равна самой функции: f'(x) = f(x)
Вас никогда не волновал вопрос, а что собственно обозначает тождество Эйлера e^i𝝅 = -1?
Понятное дело, что тождество Эйлера – это частный случай формулы Эйлера,
e^ix=cos(x) + i sin(x)
которая доказывается тем что левая и правая часть дают одинаковую сумму, если разложить их в ряды Тейлора. (я лично не раскладывал, но так говорят математики 😉 ).
Но ПОЧЕМУ это так? Каковы причины этого факта? Хорошо, комплексные числа работают так, но почему именно в степени 𝝅? e^𝝅 – это же не какая-то абстракция, это вполне конкретное число, которое имеет вполне конкретное значение:
e^𝝅 = 23.1406926328..
Почему 23.1406926328.. имеет какое-то отношение к -1 и к 𝝅: 3.14159265359..? Какой логический/алгоритмический смысл этого? Ведь это не какая-то договорённость типа километра, секунды – это же безразмерные величины – почему они появляются?
Может быть я говорю очевидные вещи, но как-то они не так уж очевидны ИМХО, потому что мои попытки найти такое объяснение – столь же простое, как, например, объяснение связи числа 𝝅 и радиуса окружности – не увенчались успехом.
Потому ниже я предложу объяснение этой связи в рамках Простого мира.
Допустим у вас существуют 4 типа монеток. Обозначим эти монетки, как “x+”, “x-“, “y+”, “y-“. Эти монетки обозначают:
“x+” – перемещение в положительном направлении вдоль оси x
“x-” – перемещение в отрицательном направлении вдоль оси x
“y+” – перемещение в положительном направлении вдоль оси y
“y-” – перемещение в отрицательном направлении вдоль оси y
Каждая монетка дает вектор в соответствующем направлении и суммарное направление перемещения определяется сумой этих векторов.
Допустим начальное состояние системы – 10000 монеток “x+”, соответственно начальное перемещение – “вдоль оси x”. Допустим мы хотим изменить направление нашего перемещения на 90 градусов – на перемещение “вдоль оси y” – за несколько поворотов на равные углы, при этом мы не можем делать ничего с теми монетками, что уже есть.
Мы можем повернуть за 2 поворота по 45 градусов каждый.
Для этого на первом этапе нам необходимо будет добавить 10000 монеток “y+”. В результате мы получим 20000 монеток и направление перемещения – 45 градусов к осям x и y. С точки зрения умножения комплексных чисел это действие аналогично умножению исходного числа 10000 на комплексное число 1+i. Соотвественно в результате мы получим комплексное число 10000 + 10000i.
На втором этапе нам необходимо будет добавить уже 20000 монеток: 10000 монеток “y+” и 1000 монеток “x-“. В результате мы получим 40000 монеток и направление перемещения – 90 градусов к оси x. С точки зрения умножения комплексных чисел это действие аналогично умножению исходного числа 10000 на комплексное число 1+i 2 раза. То есть умножение 10000 на (1+i)^2 Соотвественно в результате мы получим комплексное число 10000(1+i)^2 = 10000(1+2i -1) = 20000i.
Обратите внимание, что физически мы использовали 40000 монеток, но комплексное умножение позволило учесть нам только 20000, сократив 10000 “x+” и 10000 “x-“.
Так же добавив еще 40000 монеток (в сумме проучим 80000) мы можем изменить направление движение еще на 90 градусов и так далее. Таким образом увеличивая на каждом этапе количество монеток определенным образом в определенное количество раз мы изменяем направление движения на фиксированный угол.
Нам не обязательно было каждая раз изменять направление движение именно на 45 градусов. Мы могли разбить поворот на повороты в 22.5, например.
Тогда на первом шаге мы повернули бы на 22.5 градусов, потратив 5000 монеток (10000 * 1.5 = 15000), потом еще на 22.5 (15000 * 1.5 = 22500), потом еще на 22.5 (22500 * 1.5 = 33750) и последний раз на 22.5 градуса (33750 * 1.5 = 50625).
Как видим, в первом случае чтобы повернуть на 90 градусов нам понадобилось в сумме 40000 монеток, во втором – 50625.
Если разбивать поворот на все более малые углы, то суммарное количество необходимого вещества будет расти, но не бесконечно.
Допустим по описанной процедуре нам надо произвести поворот на угол x. Допустим мы разбиваем поворот на n частей, n стремится к бесконечности.
Для того чтобы по указанной процедуре повернуть повернуть тело на x/n радиан, нам понадобится отложить вектор перпендикулярно движению тела. Количества вещества, необходимого для этого будет равно x/n, так как при размере угла, стремящемся к 0, длина необходимого перпендикуляра будет равна длине дуги поворота, что и есть определение угла в радианах.
Тогда за каждый поворот вы будем увеличивать количество начального вещества в 1+x/n раз и произведем мы эту операцию n раз, потому суммарное количество вещества, которое нам понадобится, равно (1+x/n)^n, а это и есть одна из форм записи экспоненты – e^x.
Таким образом чтобы развернуть направление движения на 180 градусов, разбивая разворот на бесконечно малые повороты путем постоянного добавления перпендикулярных направлений, нам понадобится е^𝝅 вещества. И мы потратим сумарно e^𝝅 = 23.1406926328 от начального количества вещества (включая начальное вещество).
Причем не важна сила воздействия. Поворот может осуществляться медленно, быстро, но если поворот производился по описанному алгоритму и количество частей достаточно большое, то после того как количество вещества окажется в 23.1406926328 раза больше, чем было изначально, в Простом мире можно быть уверенным, что произошел разворот на 180 градусов.
Аналогично если вещества стало e, значит произошел поворот с использованием (e^1) вещества, а угол поворота равен ровно 1 радиан.
Ниже я приведу имитационную модель этого процесса, чтобы продемонстрировать вам, как это происходит. В данном алгоритме для вычисления скорости и позиции не применяется никаких операций кроме умножения и сложения (и деления в случае нормализации), но это не мешает получить ожидаемый результат.
Вот вам и связь. Жесткая алгоритмическая связь в рамках Простого мира.
Стоит так же добавить, что при таком повороте скорость и количество вещества постоянно растет (можете сами убедиться в имитационной модели). Для того чтобы скорость ИЛИ количество вещества не изменялись, необходимо после каждого шага нормализовать или скорость или массу. То есть постоянно делить или на √(a^2+b^2) или делить на a + b. В первом случае получается идеальная окружность, но масса постоянно то увеличивается, то уменьшается. Во втором случае получается нечто другое, что еще надо будет осмыслить отдельно.
Стоит так же добавить, что если принять, что при повороте количество вещества в теле не увеличивается (нормализовать количество вещества по массе после каждого поворота), то на каждый из n поворотов нам понадобится x/n и это произойдет n раз. Таким образом чтобы повернуть направление движения на pi радиан понадобится pi начального вещества.
Соотвественно e^ix – это функция, которая каждому x в радианах ставит в соответствие количества вещества, необходимого для такого поворота при условии нормализации вещества по массе.
Имитационная модель: Экспонента и движение по окружности